Решить в действительных числах систему уравнений:
Решение.
Рассмотрим случаи.
1) Пусть тогда откуда — первые три решения.
2) Пусть тогда откуда — первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
3) Пусть и Вычтем из первого второе уравнение и разделим на получим Сложим первое и второе уравнение и разделим на получим Следовательно, откуда то есть что в данном случае невозможно. Новых решений не получается.
Ответ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верное решение.
7
Рассмотрены первые два случая.
2
Угаданы с проверкой все решения.
1
Потеряна часть решений.
3-6
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 баллы.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 баллы.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
Из второго уравнения последней системы следует, что Подбирая целый корень и выделяя множитель в левой части последнего уравнения, получаем
откуда или Значение не подходит. При получаем Тогда
При получаем Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.
Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.
тогда 
откуда 
— первые три решения.
тогда 
откуда 
— первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
и 
Вычтем из первого второе уравнение и разделим на 
получим 
Сложим первое и второе уравнение и разделим на 
получим 
Следовательно, 
откуда 
то есть 
откуда 
что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
откуда 
что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
Домножим первое уравнение на 
Получим 
Домножим второе уравнение на 
получим: 
Поделим второе уравнение на первое, получим 
откуда 
С учётом первого уравнения, 
Заменяя 
получаем биквадратное уравнение 
откуда 
и 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем 
и 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем 
или 
Далее возможны четыре случая.
или 
Далее возможны четыре случая.
и 
Система принимает вид 
Подставляя это во второе уравнение, получаем 
(и тогда 
или 
(и тогда 
то 
и 
либо 
и 
то 
либо 
и 
и 
Система принимает вид 
Подставляя это во второе уравнение, получаем 
(и тогда 
или 
(и тогда 
то 
и 
либо 
и 
то 
либо 
и 
Тогда система принимает вид 
Подбирая целый корень 
и выделяя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем 
Значение 
не подходит. При 
Тогда
Тогда система принимает вид 
Подбирая целый корень 
и выделя множитель 
в левой части последнего уравнения, получаем 
Значение 
Тогда
получаем 
Тогда
(при этом 
Тогда 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда 
Если 
то 
откуда 
тогда
(при этом 
Тогда 
или 
Если 
то 
откуда 
тогда 
то 
откуда 
тогда 
и 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение: 
Выделив множитель 
получаем 
и пара чисел 
является единственным решением системы.
в билете 30 — 
в билете 31 — 
в билете 32 — 
— 3 балла.
Подставляем это в первое уравнение: 
Выделив множитель 
получаем 
Тогда 
и пара чисел (2; 1) является единственным решением системы.
Тогда 
Тогда система принимает вид 
Подбирая целый корень 
Тогда система принимает вид 
Значение 
и 
и 
тогда 
и 
Если 
(при этом 
Тогда 
